Дано:
- Куб ABCDA1B1C1D1 со стороной a (в СИ).
- Вершины куба имеют следующие координаты:
A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0),
A1(0, 0, a), B1(a, 0, a), C1(a, a, a), D1(0, a, a).
Найти: показать, что прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1D1.
Решение:
1. Найдем координаты точек A1 и C:
A1(0, 0, a) и C(a, a, 0).
2. Определим вектор A1C:
Вектор A1C = C - A1 = (a, a, 0) - (0, 0, a) = (a, a, -a).
3. Найдем нормальный вектор плоскости AB1D1.
Для этого определим два направления в плоскости AB1D1:
Вектор AB1 = B1 - A = (a, 0, a) - (0, 0, 0) = (a, 0, a).
Вектор AD1 = D1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a).
4. Вычислим векторное произведение AB1 и AD1 для нахождения нормали к плоскости:
n = AB1 x AD1 = |i j k|
|a 0 a|
|0 a a|
n = (0*a - a*0)i - (a*a - 0*0)j + (a*0 - 0*a)k
= (0, -a^2, 0).
5. Теперь проверим перпендикулярность:
Прямая A1C имеет направление (a, a, -a).
Проверяем скалярное произведение векторов n и A1C.
n · A1C = (0, -a^2, 0) · (a, a, -a) = 0*a - a^2*a + 0*(-a) = -a^3.
Поскольку скалярное произведение не равно нулю, значит, прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1D1.
Ответ: прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1D1.