Дано:
Точки A (1; 2; 5), B (4; 1; 2), C (2; -1; 1)
Найти:
Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.
Решение:
1. Находим векторы AB и AC.
Вектор AB = B - A = (4 - 1, 1 - 2, 2 - 5) = (3, -1, -3)
Вектор AC = C - A = (2 - 1, -1 - 2, 1 - 5) = (1, -3, -4)
2. Находим нормаль к плоскости (векторное произведение AB и AC).
Нормальный вектор N = AB × AC. Для вычисления векторного произведения используем определитель:
N = |i j k |
|3 -1 -3|
|1 -3 -4|
Раскрываем определитель:
N = i((-1) * (-4) - (-3) * (-3)) - j(3 * (-4) - (-3) * 1) + k(3 * (-3) - (-1) * 1)
= i(4 - 9) - j(-12 + 3) + k(-9 + 1)
= i(-5) - j(-9) + k(-8)
= (-5, 9, -8)
Таким образом, нормальный вектор N = (-5, 9, -8).
3. Записываем уравнение плоскости.
Уравнение плоскости можно записать в виде:
N1(x - x1) + N2(y - y1) + N3(z - z1) = 0,
где N1, N2, N3 — компоненты нормального вектора, а (x1, y1, z1) — координаты точки A.
Подставляем значения:
- N1 = -5, N2 = 9, N3 = -8
- Точка A (1; 2; 5)
Получаем уравнение:
-5(x - 1) + 9(y - 2) - 8(z - 5) = 0
4. Упростим уравнение.
-5(x - 1) + 9(y - 2) - 8(z - 5) = 0
-5x + 5 + 9y - 18 - 8z + 40 = 0
-5x + 9y - 8z + 27 = 0
Ответ:
Уравнение плоскости:
-5x + 9y - 8z + 27 = 0.