Дано:
Уравнение плоскости 2x - y + 5z + 15 = 0, точка начала координат (0, 0, 0).
Найти: расстояние от начала координат до плоскости.
Решение:
1. Уравнение плоскости:
2x - y + 5z + 15 = 0.
Нормаль к плоскости: вектор (2, -1, 5), так как коэффициенты при x, y, z — это компоненты нормали.
2. Формула для расстояния от точки до плоскости:
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²),
где (x₀, y₀, z₀) — координаты точки, а A, B, C, D — коэффициенты уравнения плоскости.
3. Подставим данные в формулу:
Плоскость: 2x - y + 5z + 15 = 0, значит A = 2, B = -1, C = 5, D = 15.
Точка начала координат (0, 0, 0) имеет координаты (x₀, y₀, z₀) = (0, 0, 0).
Расстояние:
d = |2*0 + (-1)*0 + 5*0 + 15| / √(2² + (-1)² + 5²).
4. Рассчитаем числовые значения:
2*0 + (-1)*0 + 5*0 + 15 = 15.
d = |15| / √(4 + 1 + 25) = 15 / √30.
Ответ:
Расстояние от начала координат до плоскости равно 15 / √30.