Дано:
- сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2 см,
- диагональное сечение пирамиды равновелико основанию.
Найти: площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:
1. Основание пирамиды — квадрат со стороной 2 см. Площадь основания можно найти по формуле:
S_осн = a²,
где a — сторона квадрата. Подставляем:
S_осн = 2² = 4 см².
2. Площадь диагонального сечения пирамиды равна площади основания, значит, диагональ основания квадрата также будет служить основанием для треугольника, который образуется при диагональном сечении пирамиды.
Диагональ квадрата можно найти по формуле:
d = a√2.
Подставляем a = 2 см:
d = 2√2 см.
3. Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из четырёх треугольников, у каждого из которых основание — это сторона квадрата, а высота — это высота пирамиды. Найдем высоту пирамиды, используя геометрические соображения.
Поскольку диагональное сечение пирамиды равновелико основанию, то можно предположить, что высота пирамиды будет совпадать с половиной диагонали квадрата. Таким образом, высота пирамиды:
h_пирамиды = d/2 = (2√2)/2 = √2 см.
4. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырёх треугольников. Площадь одного треугольника можно найти по формуле:
S_треугольника = 1/2 * основание * высота.
Основание треугольника — это сторона квадрата (2 см), высота — это высота пирамиды (√2 см). Таким образом, площадь одного треугольника:
S_треугольника = 1/2 * 2 * √2 = √2 см².
Площадь боковой поверхности пирамиды равна четырёх таких треугольников:
S_бок = 4 * √2 = 4√2 см².
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 4√2 см².