Дано:
Вершины треугольника:
A(1; 0; 2),
B(-2; 4; 2),
C(3; 1; 0).
Необходимо доказать, что треугольник ABC является тупоугольным.
Решение:
1. Находим длины сторон треугольника.
Сторона AB:
AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²]
AB = √[(-2 - 1)² + (4 - 0)² + (2 - 2)²] = √[(-3)² + 4² + 0²] = √[9 + 16] = √25 = 5.
Сторона BC:
BC = √[(xC - xB)² + (yC - yB)² + (zC - zB)²]
BC = √[(3 - (-2))² + (1 - 4)² + (0 - 2)²] = √[(5)² + (-3)² + (-2)²] = √[25 + 9 + 4] = √38.
Сторона CA:
CA = √[(xC - xA)² + (yC - yA)² + (zC - zA)²]
CA = √[(3 - 1)² + (1 - 0)² + (0 - 2)²] = √[(2)² + (1)² + (-2)²] = √[4 + 1 + 4] = √9 = 3.
2. Вычислим скалярные произведения векторов.
Вектор AB = (-2 - 1; 4 - 0; 2 - 2) = (-3; 4; 0).
Вектор BC = (3 - (-2); 1 - 4; 0 - 2) = (5; -3; -2).
Вектор CA = (3 - 1; 1 - 0; 0 - 2) = (2; 1; -2).
Скалярное произведение AB и BC:
AB * BC = (-3 * 5) + (4 * -3) + (0 * -2) = -15 - 12 + 0 = -27.
Скалярное произведение BC и CA:
BC * CA = (5 * 2) + (-3 * 1) + (-2 * -2) = 10 - 3 + 4 = 11.
Скалярное произведение CA и AB:
CA * AB = (2 * -3) + (1 * 4) + (-2 * 0) = -6 + 4 + 0 = -2.
3. Анализируем скалярные произведения.
- Скалярное произведение AB * BC = -27 (отрицательное),
- Скалярное произведение BC * CA = 11 (положительное),
- Скалярное произведение CA * AB = -2 (отрицательное).
Так как два скалярных произведения отрицательные, это свидетельствует о наличии тупого угла в треугольнике.
Ответ: треугольник ABC является тупоугольным.