Дано:
1. Точка A (1; 0; 1)
2. Точка B (-5; 4; 3)
3. Точка C (0; 3; -1)
Найти:
Угол A треугольника ABC.
Решение:
1. Найдем векторы AB и AC:
AB = B - A = (-5 - 1; 4 - 0; 3 - 1) = (-6; 4; 2)
AC = C - A = (0 - 1; 3 - 0; -1 - 1) = (-1; 3; -2)
2. Найдем скалярное произведение векторов AB и AC:
AB · AC = (-6) * (-1) + 4 * 3 + 2 * (-2) = 6 + 12 - 4 = 14
3. Найдем длины векторов AB и AC:
|AB| = sqrt((-6)^2 + 4^2 + 2^2) = sqrt(36 + 16 + 4) = sqrt(56) = 2sqrt(14)
|AC| = sqrt((-1)^2 + 3^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 9 + 4) = sqrt(14)
4. Теперь найдем косинус угла A:
cos(A) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
cos(A) = 14 / (2sqrt(14) * sqrt(14)) = 14 / (2 * 14) = 0,5
5. Найдем угол A:
A = arccos(0,5)
A = 60°.
Ответ:
Угол A треугольника ABC равен 60°.