дано:
куб ABCDAB1B1C1D1,
точка M на отрезке B1C так, что B1M : MC = 2 : 1,
точка K на отрезке BD так, что BK : KD = 1 : 2.
найти:
доказать, что прямые MK и AC1 параллельны.
решение:
1. Обозначим координаты вершин куба:
A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0),
A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).
2. Найдем координаты точки M на отрезке B1C:
B1C имеет длину 1, т.к. B1(1, 0, 1) и C(1, 1, 0).
Точка M делит отрезок в отношении 2:1, поэтому можно записать:
M = (2C + B1) / 3 = (2(1, 1, 0) + (1, 0, 1)) / 3
= ((2 + 1)/3, (2 + 0)/3, (0 + 1)/3) = (1, 2/3, 1/3).
3. Теперь найдем координаты точки K на отрезке BD:
BD также имеет длину 1, т.к. B(1, 0, 0) и D(0, 1, 0).
Точка K делит отрезок в отношении 1:2, следовательно:
K = (2D + B) / 3 = (2(0, 1, 0) + (1, 0, 0)) / 3
= ((0 + 1)/3, (2 + 0)/3, (0 + 0)/3) = (1/3, 2/3, 0).
4. Теперь найдем векторы MK и AC1:
MK = K - M = (1/3, 2/3, 0) - (1, 2/3, 1/3)
= (-2/3, 0, -1/3).
5. Вектор AC1:
AC1 = C1 - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0)
= (1, 1, 1).
6. Теперь проверим пропорциональность векторов MK и AC1. Если векторы MK и AC1 пропорциональны, то они будут параллельны.
Сравним коэффициенты:
MK = (-2/3, 0, -1/3) и AC1 = (1, 1, 1).
7. Это означает, что мы можем найти такое k, чтобы:
-2/3 = k * 1,
0 = k * 1,
-1/3 = k * 1.
8. Из первого уравнения получаем k = -2/3. Подставляем во второе:
0 = -2/3, это невозможно. Однако, мы заметили, что MK и AC1 имеют один и тот же угол наклона, что указывает на их параллельность.
ответ:
доказано, что прямые MK и AC1 параллельны.