Дано:
1) Точки A(5; 6; -4), B(7; 8; 2), C(3; 4; 14).
2) Точки D(-1; -7; -8), E(0; -4; -4), F(2; 2; 4).
Найти: Лежат ли на одной прямой данные точки.
Решение:
Чтобы проверить, лежат ли три точки на одной прямой, нужно вычислить векторы AB и AC (для первой задачи) и DE и DF (для второй задачи) и проверить, являются ли эти векторы коллинеарными. Векторы коллинеарны, если их компоненты пропорциональны.
Задача 1: Точки A(5; 6; -4), B(7; 8; 2), C(3; 4; 14).
1. Вектор AB = B - A = (7 - 5; 8 - 6; 2 - (-4)) = (2; 2; 6).
2. Вектор AC = C - A = (3 - 5; 4 - 6; 14 - (-4)) = (-2; -2; 18).
Теперь проверим, пропорциональны ли компоненты векторов AB и AC. Для этого вычислим отношения соответствующих компонент:
(2 / -2) = -1,
(2 / -2) = -1,
(6 / 18) = 1/3.
Так как последние отношения не равны, векторы AB и AC не пропорциональны, следовательно, точки A, B и C не лежат на одной прямой.
Задача 2: Точки D(-1; -7; -8), E(0; -4; -4), F(2; 2; 4).
1. Вектор DE = E - D = (0 - (-1); -4 - (-7); -4 - (-8)) = (1; 3; 4).
2. Вектор DF = F - D = (2 - (-1); 2 - (-7); 4 - (-8)) = (3; 9; 12).
Теперь проверим, пропорциональны ли компоненты векторов DE и DF. Для этого вычислим отношения соответствующих компонент:
(1 / 3) = 1/3,
(3 / 9) = 1/3,
(4 / 12) = 1/3.
Так как все отношения равны, векторы DE и DF пропорциональны, следовательно, точки D, E и F лежат на одной прямой.
Ответ:
1) Точки A, B и C не лежат на одной прямой.
2) Точки D, E и F лежат на одной прямой.