Дано:
Вектор а (3; 2; 1), точка А (1; 1; 1), точка В принадлежит плоскости yz.
Найти: Коллинеарный вектор АВ.
Решение:
1. Плоскость yz — это плоскость, в которой x-координата любой точки равна 0. Значит, для точки В x = 0.
2. Вектор АВ = B - A. Пусть точка В имеет координаты (0; y; z), где y и z — неизвестные. Тогда вектор АВ будет равен:
АВ = (0 - 1; y - 1; z - 1) = (-1; y - 1; z - 1).
3. Векторы а и АВ коллинеарны, если их компоненты пропорциональны. То есть существует такое число k, что:
а = k * АВ.
Тогда для каждой компоненты выполняются следующие равенства:
1. 3 = k * (-1),
2. 2 = k * (y - 1),
3. 1 = k * (z - 1).
Из первого уравнения находим k:
k = -3.
Теперь подставим k = -3 в остальные уравнения:
2. 2 = -3 * (y - 1),
y - 1 = -2 / -3 = 2 / 3,
y = 2 / 3 + 1 = 5 / 3.
3. 1 = -3 * (z - 1),
z - 1 = 1 / -3 = -1 / 3,
z = -1 / 3 + 1 = 2 / 3.
Ответ: Вектор АВ = (-1; 5/3 - 1; 2/3 - 1) = (-1; 2/3; -1/3).