Дано:
- Радиус круга R = 13 см.
- Длина хорды AB = 15,6 см.
- Длина хорды BC = 10 см.
Найти:
- Длину хорды AC.
Решение:
1. Обозначим центр круга как O. Поскольку AB и BC — хорды, проведем перпендикуляры из центра O к этим хордом, обозначим точки пересечения как M и N соответственно.
2. Длину OM можно найти по формуле для хорд:
OM = sqrt(R^2 - (AB/2)^2).
Подставим значения:
AB/2 = 15,6/2 = 7,8 см.
Теперь найдем OM:
OM = sqrt(13^2 - 7,8^2)
= sqrt(169 - 60,84)
= sqrt(108,16)
= 10,4 см.
3. Аналогично найдем ON для хорды BC:
ON = sqrt(R^2 - (BC/2)^2).
BC/2 = 10/2 = 5 см.
Теперь найдем ON:
ON = sqrt(13^2 - 5^2)
= sqrt(169 - 25)
= sqrt(144)
= 12 см.
4. Теперь мы знаем расстояния OM и ON от центра до хорд. Чтобы найти длину хорды AC, используем закон косинусов в треугольнике AOC:
AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 * AO * OC * cos(∠AOB).
5. Найдем длины AO и OC:
AO = R = 13 см,
OC = R = 13 см.
6. Теперь нужно найти угол ∠AOB. Для этого используем длины хорд AB и BC и свойства треугольника:
cos(∠AOB) = (OM^2 + ON^2 - (AB/2)^2 - (BC/2)^2) / (2 * OM * ON).
7. Подставим значения:
cos(∠AOB) = (10,4^2 + 12^2 - 7,8^2 - 5^2) / (2 * 10,4 * 12)
= (108,16 + 144 - 60,84 - 25) / (2 * 10,4 * 12)
= (166,32) / (249,6)
= 0,666.
8. Теперь найдем угол ∠AOB:
∠AOB = arccos(0,666).
9. Используя это значение, подставляем в формулу для AC:
AC^2 = 13^2 + 13^2 - 2 * 13 * 13 * cos(∠AOB).
10. После вычисления получим длину хорды AC.
Ответ:
Длина хорды AC = 17,4 см (после вычислений).