Дано:
- Площадь ромба S,
- Площадь вписанного круга Q.
Найти:
Величину острого угла ромба в радианах.
Решение:
1. Пусть ромб имеет сторону длиной a и угол ромба α. Из геометрии ромба известно, что его площадь выражается как:
S = a² * sin(α),
где α — острый угол ромба.
2. Вписанный в ромб круг касается всех сторон ромба в серединах отрезков. Радиус вписанного круга можно выразить через сторону ромба a и угол α. Радиус круга будет равен:
r = (a * sin(α)) / 2.
3. Площадь вписанного круга равна:
Q = π * r² = π * ((a * sin(α)) / 2)² = π * a² * sin²(α) / 4.
4. Теперь у нас есть два выражения: для площади ромба и площади вписанного круга. Подставим значение площади круга в формулу площади ромба:
S = a² * sin(α) и
Q = π * a² * sin²(α) / 4.
5. Разделим второе уравнение на первое, чтобы выразить sin(α):
Q / S = (π * a² * sin²(α) / 4) / (a² * sin(α)).
Сократим на a² и sin(α), получим:
Q / S = π * sin(α) / 4.
6. Решим это уравнение относительно sin(α):
sin(α) = (4 * Q) / (π * S).
7. Теперь найдём α. Для этого используем арксинус:
α = arcsin((4 * Q) / (π * S)).
Ответ:
Острый угол ромба равен arcsin((4 * Q) / (π * S)) радиан.