Дано:
- Длина основания AB = 30.
- Длина основания CD = 24.
- Длина боковой стороны AD = 3.
- Угол ∠BAD = 60°.
Найти: площадь треугольника BCM.
Решение:
1. Расположим трапецию в координатной системе.
Пусть A(0, 0), B(30, 0) — основания трапеции. Для нахождения координат точки D, используем угол ∠BAD и длину AD.
2. Найдем координаты точки D.
Поскольку угол ∠BAD = 60°, координаты точки D будут:
D(x, y) = (AD * cos(60°), AD * sin(60°)) = (3 * 1/2, 3 * (√3/2)) = (1.5, 3√3).
3. Найдем координаты точки C.
Теперь найдем координаты точки C. Так как CD = 24, и CD параллельно AB, координаты точки C будут:
C(x, y) = (xD + CD, yD) = (1.5 + 24, 3√3) = (25.5, 3√3).
4. Теперь найдем координаты точек B и C.
Точка B уже задана, а точка C будет на уровне y = 3√3.
5. Найдем высоту трапеции.
Высота h = yD = 3√3.
6. Теперь найдем точку пересечения диагоналей M.
По свойству трапеции, точка M делит диагонали в отношении оснований:
AM/MC = AB/CD = 30/24 = 5/4.
Обозначим AM = 5k и MC = 4k. Тогда:
AC = AM + MC = 5k + 4k = 9k.
Для нахождения k, нам необходимо знать длину AC.
7. Найдем длину AC.
Сначала найдем координаты точек A и C:
A(0, 0), C(25.5, 3√3).
Длина AC:
AC = sqrt((25.5 - 0)² + (3√3 - 0)²) = sqrt(25.5² + (3√3)²).
8. Теперь подставим значения.
25.5² = 650.25 и (3√3)² = 27.
Итак:
AC = sqrt(650.25 + 27) = sqrt(677.25).
9. Теперь найдем k.
Пусть AC = 9k, тогда:
9k = sqrt(677.25),
k = sqrt(677.25) / 9.
10. Теперь найдем M.
Координаты M будут:
Mx = (5 * 25.5 + 4 * 0) / 9,
My = (5 * 3√3 + 4 * 0) / 9.
11. Теперь найдем площадь треугольника BCM.
Площадь треугольника будет равна:
S = 0.5 * основание * высота.
Основание BC = |xC - xB| = |25.5 - 30| = 4.5.
Высота — это y-координата точки M.
12. Теперь найдем площадь треугольника BCM.
S = 0.5 * 4.5 * h.
Поскольку h = 3√3, подставим:
S = 0.5 * 4.5 * 3√3 = 6.75√3.
Ответ: площадь треугольника BCM равна 6.75√3 см².