Дано:
- Прямая: 2x - y + 5 = 0.
- Первая окружность: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5 с центром в точке A(1; -2) и радиусом R1 = sqrt(5).
- Вторая окружность: (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 11 с центром в точке B(-2; 3) и радиусом R2 = sqrt(11).
Найти: координаты точки P, которая лежит на прямой и равноудалена от центров окружностей A и B.
Решение:
1. Запишем уравнение расстояния от точки P(x; y) до центров окружностей.
Расстояние от P до A:
d_PA = sqrt((x - 1)^2 + (y + 2)^2).
Расстояние от P до B:
d_PB = sqrt((x + 2)^2 + (y - 3)^2).
2. Составим уравнение, используя условие равноудаленности.
Условие равноудаленности:
d_PA = d_PB.
Подставим выражения расстояний:
sqrt((x - 1)^2 + (y + 2)^2) = sqrt((x + 2)^2 + (y - 3)^2).
3. Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2.
4. Раскроем скобки:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9).
5. Соберем все в одну сторону:
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 - (x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) = 0.
Упрощаем:
-2x + 1 + 4y + 4 - 4x - 4 - 6y - 9 = 0,
-6x - 2y - 8 = 0.
6. Упростим уравнение:
3x + y + 4 = 0. (Уравнение 1)
7. Теперь найдем уравнение прямой 2x - y + 5 = 0.
Уравнение прямой:
y = 2x + 5. (Уравнение 2)
8. Подставим уравнение (2) в уравнение (1):
3x + (2x + 5) + 4 = 0.
9. Решим уравнение:
3x + 2x + 5 + 4 = 0,
5x + 9 = 0,
5x = -9,
x = -9/5.
10. Теперь найдем y, подставив x в уравнение (2):
y = 2(-9/5) + 5,
y = -18/5 + 25/5,
y = 7/5.
Таким образом, координаты точки P:
P(-9/5; 7/5).
Ответ: координаты точки P (-9/5; 7/5).