Дано:
- Точка A (-3; 2)
- Точка C (1; 6)
- Точка M — середина отрезка AB, где A и B такие, что CA = CB.
Найти: уравнение окружности, описанной вокруг треугольника ACM.
Решение:
1. Найдем координаты точки B.
Поскольку CA = CB, точка B будет симметрична точке A относительно прямой, проходящей через C. Для этого найдем координаты точки B.
Координаты точки C:
C(1; 6).
Координаты точки A:
A(-3; 2).
Найдем вектор AC:
AC = (C_x - A_x, C_y - A_y) = (1 - (-3), 6 - 2) = (1 + 3, 6 - 2) = (4, 4).
Теперь найдем координаты точки B:
B_x = C_x + (C_x - A_x) = 1 + 4 = 5,
B_y = C_y + (C_y - A_y) = 6 + 4 = 10.
Таким образом, B(5; 10).
2. Найдем координаты точки M — середину отрезка AB.
Координаты точки M:
M_x = (A_x + B_x) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1,
M_y = (A_y + B_y) / 2 = (2 + 10) / 2 = 12 / 2 = 6.
Таким образом, точка M(1; 6).
3. Определим координаты вершин треугольника ACM.
Теперь у нас есть три точки:
A(-3; 2),
C(1; 6),
M(1; 6).
4. Проверим, равны ли точки C и M.
Мы видим, что C и M совпадают (C(1; 6) = M(1; 6)). Это значит, что треугольник ACM вырожден, и у нас есть только две точки A и C.
5. Запишем уравнение окружности, описанной вокруг треугольника ACM.
Поскольку треугольник ACM вырожден, окружность, описанная вокруг него, будет находиться на прямой, проходящей через точки A и C. Найдем уравнение окружности, проходящей через две точки A и C.
Найдем центр окружности.
Центр окружности будет находиться на середине отрезка AC:
C_x = (A_x + C_x) / 2 = (-3 + 1) / 2 = -2 / 2 = -1,
C_y = (A_y + C_y) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4.
Таким образом, центр окружности (x_0, y_0) = (-1; 4).
Теперь найдем радиус R, который равен расстоянию от центра окружности до одной из точек (например, до точки A):
R = sqrt((A_x - C_x)^2 + (A_y - C_y)^2) = sqrt((-3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2) = sqrt((-3 + 1)^2 + (2 - 4)^2) = sqrt((-2)^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2 * sqrt(2).
Теперь запишем уравнение окружности:
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = (2 * sqrt(2))^2,
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8.
Ответ: уравнение окружности, описанной вокруг треугольника ACM: (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8.