Дано:
- Уравнение прямой: y = 2x + 1.
- Уравнение окружности: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5.
Найти: координаты точки C, принадлежащей окружности, если угол ABC прямой и абсцисса точки A меньше абсциссы точки B.
Решение:
1. Найдем точки A и B как точки пересечения прямой и окружности.
Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
(y - 2)^2 = 5 - (x + 1)^2.
Подставляем y = 2x + 1:
(2x + 1 - 2)^2 = 5 - (x + 1)^2,
(2x - 1)^2 = 5 - (x^2 + 2x + 1).
Раскроем скобки:
4x^2 - 4x + 1 = 5 - x^2 - 2x - 1,
4x^2 - 4x + 1 = 4 - x^2 - 2x.
Переносим все в одну сторону:
4x^2 + x^2 - 4x + 2x + 1 - 4 = 0,
5x^2 - 2x - 3 = 0.
2. Решим квадратное уравнение.
Используем формулу корней квадратного уравнения:
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a,
где a = 5, b = -2, c = -3.
Вычисляем дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 5 * (-3) = 4 + 60 = 64.
Теперь находим корни:
x1 = (2 + sqrt(64)) / (2 * 5) = (2 + 8) / 10 = 10 / 10 = 1,
x2 = (2 - sqrt(64)) / (2 * 5) = (2 - 8) / 10 = -6 / 10 = -0.6.
Теперь находим соответствующие y-координаты:
Для x1 = 1:
y1 = 2 * 1 + 1 = 3.
Для x2 = -0.6:
y2 = 2 * (-0.6) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2.
Таким образом, точки A и B:
A(-0.6; -0.2),
B(1; 3).
Согласно условию, абсцисса точки A меньше абсциссы точки B, что соответствует найденным координатам.
3. Найдем координаты точки C.
Точка C должна принадлежать окружности и образовывать прямой угол с отрезками AB.
Для нахождения C воспользуемся свойством перпендикуляра. Угол ABC прямой, значит, вектор AB перпендикулярен вектору AC.
Вектор AB:
AB = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (1 - (-0.6), 3 - (-0.2)) = (1 + 0.6, 3 + 0.2) = (1.6, 3.2).
Сначала найдем координаты C. У нас есть уравнение окружности:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5.
4. Определим точки C, используя параметры окружности.
Пусть C(x_C; y_C). Мы знаем, что точка C находится на окружности, и нам нужно, чтобы угол ABC был прямым.
Вектор AC:
AC = (x_C - A_x, y_C - A_y) = (x_C + 0.6, y_C + 0.2).
Условие перпендикулярности векторов:
AB • AC = 0.
Скалярное произведение:
1.6 * (x_C + 0.6) + 3.2 * (y_C + 0.2) = 0.
Раскроем скобки:
1.6x_C + 0.96 + 3.2y_C + 0.64 = 0,
1.6x_C + 3.2y_C + 1.6 = 0.
Теперь у нас есть уравнение (1).
5. Подставим уравнение окружности в уравнение (1).
Решим систему уравнений:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5,
1.6x + 3.2y + 1.6 = 0.
Из второго уравнения выразим y:
3.2y = -1.6x - 1.6,
y = (-1.6/3.2)x - 1.6/3.2 = -0.5x - 0.5.
Теперь подставим y в уравнение окружности:
(x + 1)^2 + (-0.5x - 0.5 - 2)^2 = 5,
(x + 1)^2 + (-0.5x - 2.5)^2 = 5.
Раскроем скобки:
(x + 1)^2 + (0.25x^2 + 2.5x + 6.25) = 5,
x^2 + 2x + 1 + 0.25x^2 + 2.5x + 6.25 = 5.
Соберем все вместе:
1.25x^2 + 4.5x + 7.25 - 5 = 0,
1.25x^2 + 4.5x + 2.25 = 0.
Решим это уравнение. Упрощая, получаем:
x^2 + 3.6x + 1.8 = 0.
Находим корни:
D = b^2 - 4ac = (3.6)^2 - 4 * 1 * 1.8 = 12.96 - 7.2 = 5.76.
Теперь находим корни:
x1 = (-3.6 + sqrt(5.76)) / 2 = (-3.6 + 2.4) / 2 = -1.2 / 2 = -0.6,
x2 = (-3.6 - sqrt(5.76)) / 2 = (-3.6 - 2.4) / 2 = -6 / 2 = -3.
Теперь подставим x обратно для нахождения y:
Для x1 = -0.6:
y1 = -0.5 * (-0.6) - 0.5 = 0.3 - 0.5 = -0.2.
Для x2 = -3:
y2 = -0.5 * (-3) - 0.5 = 1.5 - 0.5 = 1.
Точки C: (-0.6, -0.2) и (-3, 1).
Поскольку угол ABC прямой, и абсцисса точки A меньше абсциссы точки B, выбираем точку C с координатами (-3; 1).
Ответ: координаты точки C (-3; 1).