дано:
- одна сторона треугольника в 3 раза короче другой, пусть меньшая сторона a, а большая b = 3a,
- отношение длины биссектрисы угла между ними к длине большей стороны равно √2 / 4.
найти:
- величину угла между сторонами.
решение:
1. Обозначим угол между сторонами a и b как α. Длина биссектрисы, проведённой из угла α, вычисляется по формуле:
L = (2ab) / (a + b) * cos(α / 2).
2. Подставим значения a и b:
L = (2 * a * (3a)) / (a + 3a) * cos(α / 2) = (6a²) / (4a) * cos(α / 2) = (3/2) * a * cos(α / 2).
3. Длина большей стороны b = 3a, тогда отношение биссектрисы к большей стороне:
L / b = ((3/2) * a * cos(α / 2)) / (3a) = (1/2) * cos(α / 2).
4. По условию задачи:
(1/2) * cos(α / 2) = √2 / 4.
5. Умножим обе стороны на 2:
cos(α / 2) = √2 / 2.
6. Известно, что cos(45°) = √2 / 2, следовательно:
α / 2 = 45°, откуда:
α = 90°.
ответ:
- Величина угла между сторонами равна α = 90°.