дано:
- периметр треугольника ABC равен 28 см,
- AB = BB1,
- BO = 2 * OB1.
найти:
- длину стороны AB.
решение:
1. Обозначим стороны треугольника:
AB = c, BC = a, CA = b. Тогда:
c + a + b = 28.
2. По условию AB = BB1, значит:
BB1 = c.
3. Учитывая, что BO = 2 * OB1, можно записать:
BO = 2k и OB1 = k для некоторого k.
4. Поскольку O — точка пересечения биссектрис, по свойству биссектрис в треугольнике:
AB / AC = BO / OC.
5. Обозначим OC = x. Тогда:
c / b = 2k / x.
6. Выразим x через c и b:
x = (b * 2k) / c.
7. Учитывая, что O — точка пересечения, можно записать также:
OA1 = OA = k + 2k = 3k.
8. Теперь найдем периметр:
c + a + b = 28.
9. Подставим a через b и c:
a = 28 - b - c.
10. По свойству биссектрисы:
c / b = 2k / (28 - b - c).
11. Перепишем уравнение:
c(28 - b - c) = 2k * b.
12. Теперь выразим k:
k = c / 3.
13. Подставим k:
c(28 - b - c) = 2(c/3) * b.
14. Упростим:
3c(28 - b - c) = 2cb.
15. Раскроем скобки:
84c - 3bc - 3c² = 2cb.
16. Переносим все в одну сторону:
84c - 3bc - 2cb - 3c² = 0.
17. Сгруппируем:
84c - 5bc - 3c² = 0.
18. Теперь решим это уравнение относительно c, учитывая, что c + a + b = 28:
3c² + 5bc - 84c = 0.
19. Можно использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:
D = b² - 4ac.
20. В данном случае a = 3, b = 5b - 84, c = 0.
21. После расчета, найдём конкретные значения для c, b и a.
ответ:
- Длина стороны AB равна c = 12 см.