дано:
- длины сторон треугольника: a = 13 см, b = 14 см, c = 15 см.
- радиус окружности r = 5 см, концентрической окружности, вписанной в данный треугольник.
найти:
- длины хорд, отсекаемых окружностью от сторон треугольника.
решение:
1. Сначала найдем площадь треугольника S, используя формулу Герона:
полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см.
2. Площадь S треугольника вычисляется по формуле:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
3. Подставим значения:
S = √(21 * (21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) = √(21 * 8 * 7 * 6).
4. Вычислим:
S = √(21 * 336) = √(7056) = 84 см².
5. Найдем радиус вписанной окружности r треугольника:
r = S / p = 84 / 21 = 4 см.
6. Теперь определим длины хорд, отсекаемых окружностью радиуса 5 см от сторон треугольника.
7. Для нахождения длины хорд используем формулу:
L = 2 * √(R² - d²),
где R — радиус окружности (5 см), d — расстояние от центра окружности до соответствующей стороны треугольника.
8. Расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника (вписанная окружность) равно r = 4 см. Для окружности радиуса 5 см:
d = R - r = 5 - 4 = 1 см.
9. Теперь подставим в формулу:
L = 2 * √(5² - 1²) = 2 * √(25 - 1) = 2 * √24 = 2 * 2√6 = 4√6 см.
10. Так как треугольник имеет три стороны, длины хорд будут одинаковыми для всех сторон, так как окружности концентрические.
ответ:
- Длина хорд, отсекаемых окружностью от сторон треугольника, равна L = 4√6 см.