дано:
- длины сторон треугольника относятся как 12 : 39 : 45,
- площадь треугольника S = 96 см².
найти:
- радиус вписанной окружности r,
- радиус описанной окружности R.
решение:
1. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где:
a = 12k, b = 39k, c = 45k,
для некоторого коэффициента k.
2. Найдем полупериметр p треугольника:
p = (a + b + c) / 2 = (12k + 39k + 45k) / 2 = (96k) / 2 = 48k.
3. Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности:
S = r * p,
откуда r = S / p.
4. Подставим значения:
r = 96 / (48k) = 2 / k.
5. Теперь найдем радиус описанной окружности R. Для этого используем формулу:
R = (abc) / (4S).
6. Подставим значения для a, b и c:
abc = (12k) * (39k) * (45k) = 12 * 39 * 45 * k³.
7. Вычислим abc:
12 * 39 = 468,
468 * 45 = 21060,
abc = 21060 * k³.
8. Теперь подставим в формулу для R:
R = (21060 * k³) / (4 * 96).
9. Упростим:
R = (21060 * k³) / 384.
10. Теперь подставим значение площади:
R = (21060 / 384) * k³.
11. Для нахождения k, используем отношение сторон. Сначала найдем k, чтобы выразить r и R. Поскольку стороны относятся как 12 : 39 : 45, можем взять k = 1:
a = 12, b = 39, c = 45.
12. Теперь найдем радиусы:
r = 2 / 1 = 2 см,
а R = (21060 / 384) = 54.6875 см.
ответ:
- Радиус вписанной окружности r = 2 см, радиус описанной окружности R ≈ 54.69 см.