дано:
- радиус описанной окружности R = 15 см,
- радиус вписанной окружности r = 6 см.
найти:
- площадь треугольника S.
решение:
1. Используем формулу, связывающую площадь треугольника, радиусы описанной и вписанной окружностей:
S = r * s,
где s — полупериметр треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике связь между радиусами окружностей и сторонами следующая:
R = c / 2,
где c — гипотенуза.
3. В данном случае:
c = 2 * R = 2 * 15 = 30 см.
4. Площадь S также можно выразить через стороны a, b и c:
S = (a * b) / 2.
5. Поскольку треугольник прямоугольный, используем теорему Пифагора:
a² + b² = c².
6. Полупериметр s выражается как:
s = (a + b + c) / 2.
7. Подставим значение c:
s = (a + b + 30) / 2.
8. Учитывая, что:
S = r * s = 6 * ((a + b + 30) / 2).
9. Теперь выразим a и b через S:
S = (a * b) / 2 = 6 * ((a + b + 30) / 2).
10. Умножим обе стороны на 2:
a * b = 6 * (a + b + 30).
11. Раскроем скобки:
a * b = 6a + 6b + 180.
12. Переносим все в одну сторону:
a * b - 6a - 6b - 180 = 0.
13. Теперь используем выражение для площади S:
S = r * s = 6 * s = 6 * (a + b + 30) / 2.
14. Также, выразим S как:
S = (a * b) / 2.
15. Используем связь радиусов с площадью для прямоугольного треугольника:
S = R * r.
16. Подставим известные значения:
S = 15 * 6 = 90 см².
ответ:
- Площадь треугольника равна S = 90 см².