дано:
- сумма двух сторон треугольника a + b = b см.
- угол между этими сторонами α = 45°.
найти:
- треугольник с наибольшей стороной.
решение:
1. Обозначим две стороны треугольника как a и b. По условию:
a + b = b см.
2. Угол между сторонами равен 45°. Для нахождения третьей стороны c используем теорему косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos(α).
3. Подставим значение угла:
c² = a² + b² - 2ab * cos(45°),
cos(45°) = √2 / 2.
4. Следовательно:
c² = a² + b² - ab√2.
5. Чтобы максимизировать сторону c, необходимо рассмотреть, как распределяются a и b при фиксированной сумме.
6. Из условия a + b = b см можно выразить одну переменную через другую:
b = b - a.
7. Подставим это в формулу для c:
c² = a² + (b - a)² - a(b - a)√2.
8. Упрощаем уравнение:
c² = a² + (b² - 2ab + a²) - ab√2 + a²√2.
9. Дальнейшее упрощение указывает на то, что для максимизации c нам нужно, чтобы стороны a и b были равны, так как равнобедренные треугольники имеют наибольшую сторону при фиксированном угле.
10. В случае равенства сторон:
a = b / 2, b = b / 2.
11. Таким образом, максимальная сторона c достигается, когда a = b/2 и b = b/2, что позволяет создать равнобедренный треугольник.
12. Площадь треугольника будет максимальной, когда стороны равны.
ответ:
- Треугольник с наибольшей стороной — это равнобедренный треугольник, где две стороны равны, а угол между ними равен 45°.