дано:
- AC = 4,8 см.
- ∠A = 35°.
- BB1 = 2,4 см (медиана).
найти:
- угол ∠B.
решение:
1. Обозначим:
- AB = c,
- BC = a,
- B1 — середина стороны AC.
2. Поскольку B1 — середина стороны AC, то:
AB1 = AC / 2 = 4,8 / 2 = 2,4 см.
3. По свойству медианы:
BB1² = (2/3) * (c² + a²) - (1/3) * AB².
4. Подставим известные значения в формулу медианы:
2,4² = (2/3) * (c² + a²) - (1/3) * (4,8)².
5. Вычислим квадрат медианы:
5,76 = (2/3) * (c² + a²) - (1/3) * 23,04.
6. Упростим уравнение:
5,76 + (1/3) * 23,04 = (2/3) * (c² + a²),
5,76 + 7,68 = (2/3) * (c² + a²),
13,44 = (2/3) * (c² + a²).
7. Умножим обе стороны на 3/2:
c² + a² = (3/2) * 13,44 = 20,16.
8. Используем закон косинусов для нахождения угла ∠B:
c² = a² + AC² - 2 * a * AC * cos(∠A).
9. Подставим известные значения и выразим угол ∠B:
c² = a² + (4,8)² - 2 * a * 4,8 * cos(35°).
10. Заменим c² на 20,16:
20,16 = a² + 23,04 - 2 * a * 4,8 * cos(35°).
11. Упрощаем:
20,16 - 23,04 = -2 * a * 4,8 * cos(35°),
-2,88 = -2 * a * 4,8 * cos(35°).
12. Разделим обе стороны на -2:
1,44 = a * 4,8 * cos(35°).
13. Найдем a:
a = 1,44 / (4,8 * cos(35°)).
14. Вычисляем cos(35°):
cos(35°) ≈ 0,8192.
15. Теперь подставим:
a ≈ 1,44 / (4,8 * 0,8192) ≈ 0,35 см.
16. Теперь можем найти угол ∠B, используя закон синусов:
a/sin(B) = AC/sin(A).
17. Выразим угол ∠B:
sin(B) = (a * sin(A)) / AC.
18. Подставим известные значения:
sin(B) = (0,35 * sin(35°)) / 4,8.
19. Найдем sin(35°):
sin(35°) ≈ 0,5736.
20. Подставим:
sin(B) = (0,35 * 0,5736) / 4,8 ≈ 0,0420.
21. Теперь найдем угол ∠B:
∠B = arcsin(0,0420) ≈ 2,4°.
ответ:
- Угол ∠B равен приблизительно 2,4°.