дано:
- точка A (-1; 2; 3).
- точка B (3; 1; 0).
- точка M (1; 1; -1).
- точка D (0; 0; 0).
- точка P (2; -19; 7).
найти:
- уравнение плоскости, перпендикулярной прямой AB и проходящей через точку M.
- лежат ли на плоскости D и P.
решение:
1. Найдем вектор AB:
AB = B - A = (3 - (-1); 1 - 2; 0 - 3) = (4; -1; -3).
2. Уравнение плоскости можно записать в виде:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,
где (A, B, C) — компоненты нормального вектора к плоскости, а (x0, y0, z0) — координаты точки M.
3. Нормальный вектор к плоскости будет равен вектору AB:
Нормальный вектор N = (4; -1; -3).
4. Подставим координаты точки M (1; 1; -1):
4(x - 1) - 1(y - 1) - 3(z + 1) = 0.
5. Раскроем скобки:
4x - 4 - y + 1 - 3z - 3 = 0.
6. Упростим уравнение:
4x - y - 3z - 6 = 0.
7. Уравнение плоскости:
4x - y - 3z = 6.
Теперь проверим, лежат ли точки D и P на этой плоскости.
8. Подставим координаты точки D (0; 0; 0) в уравнение плоскости:
4(0) - 0 - 3(0) = 0.
Уравнение не выполняется (0 ≠ 6), значит точка D не лежит на плоскости.
9. Подставим координаты точки P (2; -19; 7) в уравнение плоскости:
4(2) - (-19) - 3(7) = 8 + 19 - 21 = 6.
Уравнение выполняется (6 = 6), значит точка P лежит на плоскости.
ответ:
- Уравнение плоскости: 4x - y - 3z = 6.
- Точка D не лежит на плоскости, точка P лежит на плоскости.