дано:
- вектор a (-1; 0; 1).
- вектор b (1; -2; 0).
- вектор c (6; -8; -2).
- вектор d (0; 2; -8).
- x = a - 2b.
найти:
- доказать, что x || c и x ⊥ d.
решение:
1. Сначала найдем вектор x:
x = a - 2b = (-1; 0; 1) - 2(1; -2; 0).
Вычислим 2b:
2b = (2 * 1; 2 * -2; 2 * 0) = (2; -4; 0).
Теперь подставим и найдем x:
x = (-1; 0; 1) - (2; -4; 0) = (-1 - 2; 0 - (-4); 1 - 0) = (-3; 4; 1).
2. Теперь проверим, является ли x параллельным вектору c:
Для этого нужно показать, что x и c кратны, то есть x = k * c для некоторого скаляра k.
Вектор c = (6; -8; -2).
Если x = (-3; 4; 1), то сравним компоненты:
- Для первой компоненты: k = -3/6 = -1/2.
- Для второй компоненты: k = 4 / -8 = -1/2.
- Для третьей компоненты: k = 1 / -2 = -1/2.
Поскольку во всех случаях значение k одинаковое (-1/2), это подтверждает, что x и c параллельны.
Таким образом, x || c.
3. Теперь проверим, перпендикулярен ли x вектору d:
Для этого нужно, чтобы скалярное произведение x и d было равно нулю.
x • d = (-3; 4; 1) • (0; 2; -8).
Вычислим скалярное произведение:
x • d = (-3 * 0) + (4 * 2) + (1 * -8) = 0 + 8 - 8 = 0.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, это подтверждает, что x и d перпендикулярны.
ответ:
- x || c (векторы параллельны);
- x ⊥ d (векторы перпендикулярны).