дано:
- |a| = 3,
- |b| = 2,
- (a, b) = 120°.
найти:
- (a + b) • (a - b),
- a • (a + b),
- b • (a - b).
решение:
1. Вычислим скалярное произведение (a + b) • (a - b):
(a + b) • (a - b) = a • a - b • b.
Используем известные значения:
a • a = |a|² = 3² = 9,
b • b = |b|² = 2² = 4.
Подставим в уравнение:
(a + b) • (a - b) = 9 - 4 = 5.
2. Вычислим скалярное произведение a • (a + b):
a • (a + b) = a • a + a • b.
Мы уже знаем:
a • a = 9.
Теперь найдем a • b:
a • b = |a| * |b| * cos(120°).
cos(120°) = -1/2, поэтому:
a • b = 3 * 2 * (-1/2) = -3.
Теперь подставим:
a • (a + b) = 9 - 3 = 6.
3. Вычислим скалярное произведение b • (a - b):
b • (a - b) = b • a - b • b.
Мы уже знаем:
b • b = 4,
b • a = -3 (по свойству скалярного произведения).
Подставим значения:
b • (a - b) = -3 - 4 = -7.
ответ:
- (a + b) • (a - b) = 5,
- a • (a + b) = 6,
- b • (a - b) = -7.