дано:
- вектор a (1; 0; 1).
- вектор b (2; 1; 0).
- вектор c (0; 3; -6).
- вектор d (1; 2; 1).
- x = 2a - b.
найти:
- доказать, что x || c и x ⊥ d.
решение:
1. Сначала найдем вектор x:
x = 2a - b = 2(1; 0; 1) - (2; 1; 0) = (2; 0; 2) - (2; 1; 0).
Выполним вычитание:
x = (2 - 2; 0 - 1; 2 - 0) = (0; -1; 2).
2. Теперь проверим, является ли x параллельным вектору c:
Для этого нужно показать, что x и c кратны, то есть x = k * c для некоторого скаляра k.
Вектор c = (0; 3; -6).
Если x = (0; -1; 2), то для проверки параллельности сравним компоненты:
- Если k = 0, то x = k * c, где k = 0.
Поскольку первая компонента x равна 0, это подтверждает, что x и c параллельны.
Таким образом, x || c.
3. Теперь проверим, перпендикулярен ли x вектору d:
Для этого нужно, чтобы скалярное произведение x и d было равно нулю.
x • d = (0; -1; 2) • (1; 2; 1).
Вычислим скалярное произведение:
x • d = (0 * 1) + (-1 * 2) + (2 * 1) = 0 - 2 + 2 = 0.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, это подтверждает, что x и d перпендикулярны.
ответ:
- x || c (векторы параллельны);
- x ⊥ d (векторы перпендикулярны).