Дано:
- Высота правильной треугольной пирамиды h = 8 м
- Радиус описанной окружности основания R = 6 м
Необходимо найти:
а) длину стороны основания
б) длину бокового ребра
в) длину апофемы
г) синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания
д) тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания
Решение:
1. Нахождение длины стороны основания.
Основание пирамиды — правильный треугольник. Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 6 м, и этот радиус является расстоянием от центра окружности (середины основания) до вершины треугольника. В правильном треугольнике этот радиус можно выразить через длину стороны a:
R = a / (sqrt(3))
Решим для a:
a = R * sqrt(3)
a = 6 * sqrt(3) ≈ 10.392 м
Ответ: длина стороны основания ≈ 10.392 м.
2. Нахождение длины бокового ребра.
Для нахождения длины бокового ребра рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это боковое ребро пирамиды, одна катет — это высота пирамиды h, а второй катет — расстояние от вершины основания до центра описанной окружности.
Катет, который равен расстоянию от центра окружности до вершины основания, равен:
r = a / (sqrt(3))
r = 10.392 / sqrt(3) ≈ 6 м
Теперь найдем длину бокового ребра (l) с использованием теоремы Пифагора:
l = sqrt(h² + r²)
l = sqrt(8² + 6²)
l = sqrt(64 + 36)
l = sqrt(100)
l = 10 м
Ответ: длина бокового ребра = 10 м.
3. Нахождение длины апофемы.
Апофема — это высота боковой грани, которая является прямым углом с основанием. Апофема также образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и боковым ребром. В этом треугольнике апофема (p) является катетом, а боковое ребро (l) — гипотенузой.
Для нахождения апофемы используем теорему Пифагора:
p = sqrt(l² - (a/2)²)
p = sqrt(10² - (10.392 / 2)²)
p = sqrt(100 - 5.196²)
p = sqrt(100 - 26.98)
p = sqrt(73.02)
p ≈ 8.54 м
Ответ: длина апофемы ≈ 8.54 м.
4. Нахождение синуса угла наклона бокового ребра к плоскости основания.
Синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания можно найти через отношение высоты пирамиды к длине бокового ребра:
sin(α) = h / l
sin(α) = 8 / 10
sin(α) = 0.8
Ответ: синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания = 0.8.
5. Нахождение тангенса угла наклона боковой грани к плоскости основания.
Тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания равен отношению высоты пирамиды (h) к половине стороны основания (a/2):
tan(β) = h / (a/2)
tan(β) = 8 / (10.392 / 2)
tan(β) = 8 / 5.196
tan(β) ≈ 1.54
Ответ: тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания ≈ 1.54.
Ответ:
а) длина стороны основания ≈ 10.392 м
б) длина бокового ребра = 10 м
в) длина апофемы ≈ 8.54 м
г) синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания = 0.8
д) тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания ≈ 1.54