Question

Сторона ВС треугольника ABC лежит в плоскости a, a точка А не лежит в ней. М и К — точки сторон АВ и АС соответственно, причем AM : MB = 1:3. СК : АК = 3:1. а)  Докажите,   что   МК || а.   б)  Пусть   О — точка   плоскости а, не лежащая на прямой ВС. Изобразите линию пересечения плоскости МОК и плоскости а.

Answer 1

Дано:
- Треугольник ABC.
- Сторона BC лежит в плоскости α, точка A не лежит в этой плоскости.
- Точки М и К лежат на сторонах AB и AC соответственно.
- AM : MB = 1 : 3.
- СK : AK = 3 : 1.

Нужно:
а) Докажите, что прямая МК || α.

Решение:
Для доказательства, что прямая МК параллельна плоскости α, используем следующее:

1. Из условия задачи AM : MB = 1 : 3 и SK : AK = 3 : 1, можем записать, что точки М и К делят стороны AB и AC в определенных пропорциях.
   
2. Треугольники АМК и АВС подобны по признаку пропорциональности сторон, так как они лежат в одной плоскости и делят соответствующие стороны в тех же пропорциях.

3. Если два треугольника подобны, то прямые, соединяющие соответствующие вершины этих треугольников, параллельны.

4. Так как М и К делят стороны AB и AC, соответственно, в тех же пропорциях, что и вершины A и B (или C) на плоскости, то прямая МК будет параллельна плоскости α, так как она проходит через точки, разделяющие стороны AB и AC в этих пропорциях.

Ответ: Прямая МК параллельна плоскости α.

Часть б)
Изобразите линию пересечения плоскости МОК и плоскости α.

- Плоскость МОК проходит через точку O (вне прямой BC) и прямую МК, которая параллельна плоскости α.
- Плоскость α пересекается с плоскостью МОК по прямой, которая является линией пересечения двух плоскостей.
  
Точно изобразить эту линию можно через построение, но в контексте теории это будет прямая, проходящая через точку пересечения плоскости МОК с плоскостью α.