Дано:
Основание пирамиды — прямоугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О.
РО — высота пирамиды, М — середина отрезка AD.
Найти: доказательства для следующих утверждений:
а) (BPD) ⊥ (ABC);
б) AD ⊥ (РМО);
в) (РМО) ⊥ (PAD).
Решение:
Часть а) (BPD) ⊥ (ABC):
1. Рассмотрим треугольник BPD и плоскость (ABC).
2. Прямые BP и PD лежат в плоскости (BPD), а точка P является вершиной пирамиды, которая по определению находится на прямой, перпендикулярной основанию пирамиды. Плоскость (ABC) является основанием.
3. Плоскости (BPD) и (ABC) пересекаются по прямой BD.
4. С учетом того, что РО — высота пирамиды, а также что точка Р лежит на прямой, перпендикулярной основанию, можно утверждать, что плоскость (BPD) будет перпендикулярна плоскости основания (ABC) по определению высоты.
Вывод:
Плоскости (BPD) и (ABC) перпендикулярны.
Часть б) AD ⊥ (РМО):
1. Плоскость (РМО) — это плоскость, проходящая через точку P, точку М (середину AD) и точку O (точку пересечения диагоналей основания).
2. Рассмотрим отрезок AD, который является частью основания прямоугольника.
3. Поскольку точка P — вершина пирамиды и находится на прямой, которая перпендикулярна плоскости основания, отрезок AD будет перпендикулярен плоскости (РМО), так как плоскость, проходящая через точку М (середину отрезка AD) и точку P (высоту пирамиды), будет вертикальной к основанию.
Вывод:
Отрезок AD перпендикулярен плоскости (РМО).
Часть в) (РМО) ⊥ (PAD):
1. Рассмотрим плоскость (РМО) и плоскость (PAD).
2. Плоскость (РМО) включает в себя прямую РО (высоту пирамиды) и точку М (середину отрезка AD).
3. Плоскость (PAD) — это плоскость, которая проходит через точку P, точку A (вершину основания) и точку D.
4. Так как прямые РО и AD перпендикулярны и являются частью плоскости (PAD), а также что РО перпендикулярна всем плоскостям, проходящим через AD, можно заключить, что плоскость (РМО) будет перпендикулярна плоскости (PAD).
Вывод:
Плоскость (РМО) перпендикулярна плоскости (PAD).
Ответ:
a) (BPD) ⊥ (ABC);
б) AD ⊥ (РМО);
в) (РМО) ⊥ (PAD).