Дано:
- Длина стороны АВ = 6 м,
- Длина стороны ВС = 8 м,
- Длина отрезка PC = 10√2 м,
- Ребра РА, РВ и PC пирамиды одинаковы.
Найти:
- Длину перпендикуляра, проведенного из точки Р к плоскости ABC.
Решение:
1. Вычисление длины РО (перпендикуляр от точки Р к плоскости ABC).
Поскольку РА = РВ = PC, то пирамида является правильной. Следовательно, точка О, основание перпендикуляра, находится в центре основания ABC. Для этого мы будем использовать свойства правильной пирамиды.
- Площадь треугольника ABC можно вычислить с помощью формулы для площади треугольника с известными сторонами. Для этого используем полупериметр:
p = (АВ + ВС + CA) / 2 = (6 + 8 + 10) / 2 = 12
- Площадь треугольника ABC:
S = √[p(p - АВ)(p - ВС)(p - CA)] = √[12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)] = √[12 × 6 × 4 × 2] = √576 = 24
- Теперь находим радиус вписанной окружности, который является расстоянием от точки О до каждой из сторон основания ABC. Для этого используем формулу:
r = S / p = 24 / 12 = 2 м.
Это расстояние от центра основания до каждой стороны.
2. Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике РОС.
Задача сводится к нахождению перпендикуляра РО из вершины пирамиды к плоскости основания. Так как пирамида правильная, то все перпендикуляры будут равны и симметричны относительно центра основания.
В треугольнике РОС:
- Гипотенуза — это ребро пирамиды, которое равно длине PC = 10√2 м,
- Один катет — это радиус вписанной окружности основания, который равен r = 2 м,
- Второй катет — это высота РО, которую мы ищем.
Применяем теорему Пифагора:
(РО)² + r² = PC²
(РО)² + 2² = (10√2)²
(РО)² + 4 = 200
(РО)² = 200 - 4 = 196
РО = √196 = 14 м.
Ответ:
Длина перпендикуляра, проведенного из точки Р к плоскости ABC, равна 14 метров.