Question

Биссектрисы ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М, биссектрисы В1В2 и С1С2 треугольника АВ1С1 пересекаются в точке N. Докажите, что точки А, М и N лежат на одной прямой.

Answer 1

Дано:
Биссектрисы BV1 и CV1 треугольника ABC пересекаются в точке M,
Биссектрисы V1V2 и C1C2 треугольника AB1C1 пересекаются в точке N.

Найти:
Доказать, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Решение:
Пусть I - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда точка M - точка пересечения биссектрис этого треугольника, а следовательно, лежит на отрезке AI.

Аналогично, пусть J - центр окружности, вписанной в треугольник AB1C1. Тогда точка N - точка пересечения биссектрис этого треугольника, и лежит на отрезке AJ.

Так как AI - это отрезок, проходящий через вершины треугольника ABC, то точка A также лежит на этом отрезке.

Следовательно, точки A, M и N лежат на одной прямой.

Ответ:
Точки A, M и N лежат на одной прямой.