Дано:
Тупоугольный треугольник ABC.
Найти:
Доказать, что высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника, а высоты, проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника.
Решение:
1. Высота, проведенная из вершины тупого угла:
Пусть H1 - основание высоты, проведенной из вершины тупого угла C.
Для доказательства того, что высота H1 лежит внутри треугольника, рассмотрим прямоугольный треугольник ACH1, где AC - гипотенуза, а H1C - катет.
Угол ACB тупой (т.к. треугольник тупоугольный), а угол CAD прямой (высота перпендикулярна основанию), следовательно, угол H1CA острый.
Таким образом, гипотенуза AC больше катета H1C, что гарантирует положение основания H1 внутри треугольника ABC.
2. Высоты, проведенные из вершин острых углов:
Рассмотрим высоту H2, проведенную из вершины A остроугольного треугольника ABC. Предположим, что она лежит внутри треугольника.
Тогда в прямоугольном треугольнике CBH2 (где CH2 - гипотенуза, а BH2 - катет) угол C прямой, а угол CAB острый. Поэтому гипотенуза CH2 должна быть меньше катета BH2, что противоречит позиции высоты H2 внутри треугольника.
Аналогично можно доказать, что высоты, проведенные из вершин B и C, также будут лежать вне треугольника.
Таким образом, высота, проведенная из вершины тупого угла, всегда лежит внутри треугольника, а высоты, проведенные из вершин острых углов, всегда лежат вне треугольника.
Ответ:
Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника, а высоты, проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника.