Дано:
Остроугольный треугольник ABC.
Найти:
Доказать, что высоты треугольника лежат внутри треугольника.
Решение:
Пусть H1, H2, и H3 - основания высот треугольника ABC, проведенных из вершин A, B и C соответственно.
Предположим, что высота H1 не лежит внутри треугольника ABC, а выходит за его пределы.
Тогда, например, высота H1 пересечет продолжение стороны BC и образует точку пересечения D.
Поскольку HD является высотой треугольника ABC, то противоположные углы ∠ADH = 90 градусов.
Так как треугольник ABC остроугольный, то все его углы меньше 90 градусов. Следовательно, AD должна быть больше, чем HD.
Это противоречит определению высоты, которая должна быть наименьшим расстоянием от вершины до стороны.
Аналогично можно рассмотреть высоты H2 и H3 и прийти к выводу, что они также должны лежать внутри треугольника.
Таким образом, высоты остроугольного треугольника всегда лежат внутри треугольника.
Ответ:
Высоты треугольника лежат внутри треугольника.