Дано:
В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Точка E отмечена так, что отрезки DE и AB пересекаются в точке K, AE = CD и ∠EAB = ∠ACB.
Найти:
Доказать, что EK = KD.
Решение:
Из условия задачи известно, что AE = CD и ∠EAB = ∠ACB.
Так как AE = CD, то треугольники AED и CDB равны по стороне-стороне-стороне (ССС).
Из равенства треугольников следует, что углы ∠ADE и ∠CDB равны, а также углы ∠AED и ∠CBD равны.
Так как угол ADB - это угол, который делит угол ACB пополам, то угол ADB равен углу ACB.
Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, получаем, что угол BCD равен углу BAC.
Теперь рассмотрим треугольники ABE и DCB. У них две пары равных углов и одна равная сторона AE = CD. Следовательно, они подобны.
Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть:
EK/KB = CD/AB = AE/EB = 1.
Отсюда EK = KB = KD.
Таким образом, доказано, что EK = KD.
Ответ:
EK = KD.