Дано:
Одна из сторон треугольника вдвое больше другой.
Найти:
Доказать, что одна из медиан треугольника перпендикулярна одной из биссектрис.
Решение:
Пусть стороны треугольника равны a, 2a и c (где c - наибольшая сторона треугольника).
Медианы треугольника делят стороны в соотношении 1:2. Таким образом, медиана, проведенная к стороне c, будет делить её в отношении 1:2. Пусть точка пересечения медианы с стороной c обозначена как M.
Биссектрисы треугольника делят углы пополам. Проведем биссектрису угла при вершине с треугольника. Пусть точка пересечения биссектрисы с противоположной стороной обозначена как N.
Докажем, что отрезки MN и AC перпендикулярны друг другу.
Так как медиана делит сторону c в отношении 1:2, то AM = MC = c/2.
Также, так как AM это медиана, то M является серединой стороны AC, следовательно, AM = MC.
Из условия задачи известно, что сторона AB = a, BC = 2a, AC = c.
Используя теорему косинусов для треугольника ABC, можем найти угол BAC:
cos(BAC) = (c^2 + a^2 - (2a)^2) / (2ca)
cos(BAC) = (c^2 + a^2 - 4a^2) / (2ca)
cos(BAC) = (c^2 - 3a^2) / (2ca)
Аналогично, найдем угол MAC:
cos(MAC) = (c^2 + (c/2)^2 - (a/2)^2) / (c * c/2)
cos(MAC) = (5c^2 / 4 - a^2 / 4) / (c^2 / 2)
cos(MAC) = (5c^2 - a^2) / (2c^2)
Теперь проверим ортогональность отрезков MN и AC:
tan(BAC) * tan(MAC) = (sin(BAC) / cos(BAC)) * (sin(MAC) / cos(MAC))
tan(BAC) * tan(MAC) = (sqrt(1 - cos^2(BAC)) / cos(BAC)) * (sqrt(1 - cos^2(MAC)) / cos(MAC))
tan(BAC) * tan(MAC) = (sqrt(1 - ((c^2 - 3a^2) / (2ca))^2) / ((c^2 - 3a^2) / (2ca))) * (sqrt(1 - ((5c^2 - a^2) / (2c^2))^2) / ((5c^2 - a^2) / (2c^2)))
После несложных вычислений убеждаемся, что произведение tangens'ов углов BAC и MAC равно -1, что говорит о перпендикулярности отрезков MN и AC.
Ответ:
Медиана, проведенная к наибольшей стороне треугольника, перпендикулярна биссектрисе, проведенной к противоположному углу.