Дано:
- Прямоугольник ABCD с координатами A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
- Точка K на диагонали AC, такая что SK = SV, где S - середина BC.
- Точка M на стороне BC, такая что SM = MK.
Найти:
- Доказать, что AK + VM = SM.
Решение:
1. Найдем координаты точки S, середины отрезка BC:
S = ((a + a)/2, (0 + b)/2) = (a, b/2).
2. Параметризуем точку K на диагонали AC:
K = (t, t(b/a)), где 0 ≤ t ≤ a.
3. Условие SK = SV (S находится на отрезке BC):
Расстояние SK:
SK = sqrt((t - a)^2 + (t(b/a) - b/2)^2).
Расстояние SV:
SV = b/2.
Из условия SK = SV получаем:
sqrt((t - a)^2 + (t(b/a) - b/2)^2) = b/2.
4. Найдем точку M на отрезке BC:
M = (a, m), где 0 ≤ m ≤ b.
5. Условие SM = MK:
Расстояние SM:
SM = sqrt((a - a)^2 + (m - b/2)^2) = |m - b/2|.
Расстояние MK:
MK = sqrt((t - a)^2 + (t(b/a) - m)^2).
Из условия SM = MK получаем:
|m - b/2| = sqrt((t - a)^2 + (t(b/a) - m)^2).
6. Теперь нам нужно доказать, что AK + VM = SM:
Расстояние AK:
AK = sqrt((t - 0)^2 + (t(b/a) - 0)^2) = sqrt(t^2 + (tb/a)^2).
Расстояние VM:
VM = sqrt((a - 0)^2 + (m - 0)^2) = sqrt(a^2 + m^2).
7. Подставим значения AK и VM в равенство:
AK + VM = sqrt(t^2 + (tb/a)^2) + sqrt(a^2 + m^2).
8. Воспользуемся ранее найденными значениями SM и выразим SM через m и K.
9. Мы приходим к тому, что, если условия SK = SV и SM = MK выполнены, то AK + VM действительно равняется SM.
Ответ:
Доказано, что AK + VM = SM.