Дано: На прямой АВ отмечены 25 точек, лежащих вне отрезка АВ.
Найти: Может ли сумма расстояний от этих точек до точки А быть равной сумме расстояний от них до точки В?
Решение с подробными расчетами:
Обозначим точки на прямой от точки A до точки B как x. Пусть xi - координата i-й точки из 25 отмеченных точек.
Сумма расстояний от всех 25 точек до точки A равна S1 = |x-x1| + |x-x2| + ... + |x-x25|.
Сумма расстояний от всех 25 точек до точки B равна S2 = |x-(1-x1)| + |x-(1-x2)| + ... + |x-(1-x25)| = |x+x1-1| + |x+x2-1| + ... + |x+x25-1|.
Если сумма расстояний от всех 25 точек до точки A равна сумме расстояний от них до точки B, то S1 = S2:
|x-x1| + |x-x2| + ... + |x-x25| = |x+x1-1| + |x+x2-1| + ... + |x+x25-1|.
Докажем, что такое равенство не может быть выполнено. Рассмотрим случай, когда x находится между xk и x(k+1), где k - целое число от 1 до 24. Тогда |x-xk| < |x-x(k+1)| и |x+xk-1| > |x+x(k+1)-1|. Значит, суммы S1 и S2 не могут быть равны.
Следовательно, сумма расстояний от 25 точек до точки A не может быть равной сумме расстояний от них до точки B.
Ответ: Сумма расстояний от этих точек до точки A не может быть равной сумме расстояний от них до точки B.