Дано:
Точка D(6; 4) лежит на окружности, центр окружности в начале координат O(0; 0).
Найти:
1) Уравнение окружности.
2) Площадь треугольника DMK.
Решение:
1) Уравнение окружности имеет вид:
x^2 + y^2 = r^2,
где r - радиус окружности.
Радиус можно найти, используя координаты точки D:
r = √(x^2 + y^2) = √(6^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √52 = 2√13.
Тогда уравнение окружности:
x^2 + y^2 = (2√13)^2 = 52.
Ответ для уравнения окружности:
x^2 + y^2 = 52.
2) Для нахождения точек пересечения окружности с осью y, подставим x = 0 в уравнение окружности:
0^2 + y^2 = 52,
y^2 = 52,
y = ±√52 = ±2√13.
Точки пересечения:
M(0; 2√13) и K(0; -2√13).
Теперь найдем площадь треугольника DMK.
Для этого воспользуемся формулой:
S = (1/2) * основание * высота.
Основание DM = расстояние от D до оси y:
DM = 2√13 - 4 = 2√13 - 4.
Высота от точки K до оси y:
h = 2√13 - (-2√13) = 4√13.
Теперь площадь треугольника:
S = (1/2) * |DM| * |h| = (1/2) * (2√13 - 4) * (4√13).
Упростим:
S = 2 * (2√13 - 4) * √13 = 4(2√13 - 4)√13.
Ответ: площадь треугольника DMK = 4(2√13 - 4)√13.