Дано:
Точки A(3; 1), B(-1; 4), C(2; -3), D(-2; -4).
Найти:
1) Координаты и длины векторов AC и BD.
2) Координаты и длину вектора m - 3AC - 4BD.
Решение:
1) Найдем координаты вектора AC.
Координаты вектора AC вычисляются как:
AC = C - A = (xC - xA, yC - yA)
= (2 - 3, -3 - 1)
= (-1, -4).
Теперь найдем длину вектора AC:
Длина AC = sqrt((-1)² + (-4)²)
= sqrt(1 + 16)
= sqrt(17).
Теперь найдем координаты вектора BD.
Координаты вектора BD вычисляются как:
BD = D - B = (xD - xB, yD - yB)
= (-2 - (-1), -4 - 4)
= (-1, -8).
Теперь найдем длину вектора BD:
Длина BD = sqrt((-1)² + (-8)²)
= sqrt(1 + 64)
= sqrt(65).
2) Найдем координаты вектора m - 3AC - 4BD.
Сначала найдем координаты векторов 3AC и 4BD.
3AC = 3 * (-1, -4) = (-3, -12).
4BD = 4 * (-1, -8) = (-4, -32).
Теперь найдем координаты вектора 3AC + 4BD:
3AC + 4BD = (-3, -12) + (-4, -32) = (-3 - 4, -12 - 32) = (-7, -44).
Теперь найдем вектор m - (3AC + 4BD).
Пусть m = (0, 0) для простоты (если другое не указано):
m - (3AC + 4BD) = (0, 0) - (-7, -44) = (7, 44).
Теперь найдем длину вектора m - 3AC - 4BD:
Длина = sqrt(7² + 44²)
= sqrt(49 + 1936)
= sqrt(1985).
Ответ:
1) Координаты вектора AC: (-1, -4), длина: sqrt(17).
Координаты вектора BD: (-1, -8), длина: sqrt(65).
2) Координаты вектора m - 3AC - 4BD: (7, 44), длина: sqrt(1985).