Дано:
- Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 10 см.
Найти:
- Площадь треугольника BC1D.
Решение:
1. Определим координаты вершин куба:
- B(10, 0, 0)
- C(10, 10, 0)
- D(0, 10, 0)
- C1(10, 10, 10)
2. Теперь найдем векторы BC1 и BD:
- Вектор BC1 = C1 - B = (10, 10, 10) - (10, 0, 0) = (0, 10, 10).
- Вектор BD = D - B = (0, 10, 0) - (10, 0, 0) = (-10, 10, 0).
3. Найдем площадь треугольника, используя формулу:
Площадь = 0.5 * |BC1 x BD|,
где "x" — векторное произведение.
4. Вычислим векторное произведение BC1 и BD:
BC1 x BD = |i j k|
|0 10 10|
|-10 10 0|
= i(10*0 - 10*10) - j(0*0 - 10*(-10)) + k(0*10 - (-10)*10)
= i(0 - 100) - j(0 + 100) + k(0 + 100)
= -100i - 100j + 100k
= (-100, -100, 100).
5. Найдем модуль векторного произведения:
|BC1 x BD| = sqrt((-100)^2 + (-100)^2 + (100)^2)
= sqrt(10000 + 10000 + 10000)
= sqrt(30000)
= 100 * sqrt(3).
6. Подставим в формулу для площади:
Площадь = 0.5 * |BC1 x BD| = 0.5 * (100 * sqrt(3)) = 50 * sqrt(3).
Ответ:
Площадь треугольника BC1D равна 50 * sqrt(3) см^2.