Дано:
Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 8 см.
Найти:
Площадь треугольника AB1C.
Решение:
1. Определим координаты вершин куба. Предположим, что куб расположен в пространстве следующим образом:
- A(0, 0, 0)
- B(8, 0, 0)
- C(8, 8, 0)
- D(0, 8, 0)
- A1(0, 0, 8)
- B1(8, 0, 8)
- C1(8, 8, 8)
- D1(0, 8, 8)
2. Теперь у нас есть следующие координаты для вершин треугольника AB1C:
- A(0, 0, 0)
- B1(8, 0, 8)
- C(8, 8, 0)
3. Найдем векторы AB1 и AC:
- Вектор AB1 = B1 - A = (8 - 0, 0 - 0, 8 - 0) = (8, 0, 8)
- Вектор AC = C - A = (8 - 0, 8 - 0, 0 - 0) = (8, 8, 0)
4. Найдем площадь треугольника по формуле:
Площадь = 0.5 * ||AB1 × AC||, где "×" обозначает векторное произведение.
5. Сначала найдем векторное произведение AB1 и AC:
AB1 = (8, 0, 8)
AC = (8, 8, 0)
Векторное произведение вычисляется по формуле:
AB1 × AC = |i j k|
|8 0 8|
|8 8 0|
= i(0*0 - 8*8) - j(8*0 - 8*8) + k(8*8 - 0*8)
= i(0 - 64) - j(0 - 64) + k(64 - 0)
= -64i + 64j + 64k
Таким образом,
AB1 × AC = (-64, 64, 64)
6. Найдем длину векторного произведения:
||AB1 × AC|| = √((-64)² + 64² + 64²)
= √(4096 + 4096 + 4096)
= √(12288)
= 64√3.
7. Подставим найденное значение в формулу для площади треугольника:
Площадь = 0.5 * ||AB1 × AC|| = 0.5 * 64√3 = 32√3 см².
Ответ:
Площадь треугольника AB1C равна 32√3 см².