Дано:
Треугольник ABC, где ∠B = 20°. Поворот на 90° против часовой стрелки вокруг точки C.
Найти: ∠АА1В1.
Решение:
1. Поскольку треугольник ABC прямоугольный и ∠B = 20°, то ∠A = 70° и ∠C = 90°.
2. Обозначим координаты точек:
Точка C (0, 0) — вершина прямого угла.
Точка B (b, 0), где b — длина отрезка BC.
Точка A (a, h), где h — высота отрезка AC.
3. После поворота на 90° против часовой стрелки:
Точка A переходит в A1 с координатами (-h, a).
Точка B переходит в B1 с координатами (0, b).
4. Теперь найдем угол ∠AA1B1. Для этого используем формулы для нахождения угла между двумя векторами:
Вектор AA1: A1 - A = (-h - a, a - h).
Вектор B1A1: A1 - B1 = (-h - 0, a - b) = (-h, a - b).
5. Находим скалярное произведение векторов:
(AA1) · (B1A1) = (-h - a)(-h) + (a - h)(a - b).
Раскроем скобки:
= h(h + a) + (a - h)(a - b).
6. Длина векторов:
|AA1| = sqrt((-h - a)^2 + (a - h)^2)
|B1A1| = sqrt((-h)^2 + (a - b)^2).
7. Теперь мы можем найти угол с использованием формулы косинуса:
cos(∠AA1B1) = ((AA1) · (B1A1)) / (|AA1| * |B1A1|).
8. Находим угол:
∠AA1B1 = arccos(cos(∠AA1B1)).
9. Так как треугольник ABC прямоугольный, угол ACB равен 90°, следовательно, угол AAB1 равен 20° + 90° = 110°.
Итого, ∠AA1B1 = 180° - 110° = 70°.
Ответ:
∠AA1B1 = 70°.