Дано:
- длина наклонной плоскости AB: L = 1 м
- радиус обруча: R = 0,3 м
- коэффициент трения: μ = 0,2
- угол наклона плоскости: α = 30°
Найти:
1. Минимальную начальную скорость v0, которую нужно сообщить шайбе, чтобы она оторвалась от опоры в точке B.
Решение:
1. Рассмотрим силы, действующие на шайбу. На шайбу действуют:
- вес: mg, направленный вниз
- нормальная сила N, перпендикулярная поверхности
- сила трения F_tr = μN, направленная вверх по наклонной плоскости
2. Вместе с углом наклона, компоненты веса можно записать как:
- mg * sin(α) (сила, способствующая скольжению вниз)
- mg * cos(α) (нормальная сила)
Таким образом, нормальная сила N:
N = mg * cos(α)
Сила трения будет равна:
F_tr = μ * mg * cos(α)
3. По второму закону Ньютона для движения вдоль наклонной плоскости:
ma = mg * sin(α) - F_tr,
где a - ускорение шайбы.
4. Подставим силу трения:
ma = mg * sin(α) - μmg * cos(α)
5. Упрощаем уравнение:
a = g * (sin(α) - μ * cos(α))
6. Теперь подставим значения. g = 9,81 м/с², α = 30°:
sin(30°) = 0,5, cos(30°) = sqrt(3)/2 ≈ 0,866.
Подставляем:
a = 9,81 * (0,5 - 0,2 * 0,866)
a = 9,81 * (0,5 - 0,1732)
a ≈ 9,81 * 0,3268 ≈ 3,21 м/с².
7. Теперь найдем конечную скорость vB в точке B. Для этого учтем, что шайба должна иметь достаточную скорость, чтобы оторваться от опоры. В момент отрыва скорость должна быть равна корню из выражения:
vB^2 = 2gR,
где R - радиус обруча.
Подставляем:
vB = sqrt(2 * 9,81 * 0,3) ≈ sqrt(5,886) ≈ 2,43 м/с.
8. Используем закон сохранения энергии. Энергия в начале (кинетическая + потенциальная) равна энергии в конце (кинетическая + работа против трения):
0.5 * m * v0^2 = 0.5 * m * vB^2 + mgh + F_tr * L,
где h = L * sin(α).
Подставим все известные величины:
h = 1 * sin(30°) = 0,5 м.
F_tr = μ * mg * cos(30°) * L = 0,2 * mg * (sqrt(3)/2) * 1.
9. Затем подставим в уравнение и решим его для v0:
0.5 * v0^2 = 0.5 * vB^2 + gh + μg * (sqrt(3)/2).
Перепишем уравнение и выразим v0:
v0^2 = vB^2 + 2g(h + μLcos(30°)).
10. После подстановки получаем:
v0^2 = (2,43)^2 + 2 * 9,81 * (0,5 + 0,2 * 1 * (sqrt(3)/2)).
11. Посчитаем:
v0^2 = 5,9049 + 2 * 9,81 * (0,5 + 0,2 * 0,866)
= 5,9049 + 19,62 * (0,5 + 0,1732)
= 5,9049 + 19,62 * 0,6732
= 5,9049 + 13,215 ≈ 19,1199.
12. Находим v0:
v0 = sqrt(19,1199) ≈ 4,37 м/с.
Ответ:
Минимальная начальная скорость 4,37 м/с.