Дано:
- длина нити l (м)
- расстояние от точки A до гвоздя h = l/2 (м)
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
Найти:
1. Высоту h' над нижней точкой траектории шарика, на которой исчезнет сила натяжения нити.
Решение:
1. Шарик сначала отклоняют так, чтобы нить стала горизонтальной. После этого он отпускается и начинает движение вниз, достигая нижней точки своей траектории.
2. При минимальной высоте h_min шарика, когда он находится в самой низкой точке, потенциальная энергия преобразуется в кинетическую.
3. На высоте h_min (которая равна 0) вся потенциальная энергия превратилась в кинетическую:
m * g * h = 1/2 * m * v²,
где h - начальная высота, с которой отпускается шарик:
h = l (высота от точки A до нижней точки).
4. Подставляя значение h:
m * g * l = 1/2 * m * v².
5. Упростим уравнение, уберем массу m:
g * l = 1/2 * v²,
откуда
v² = 2 * g * l.
6. Когда нитка зацепляется за гвоздь, шарик будет двигаться по круговой траектории радиусом r = l/2. На этом этапе центростремительное ускорение равно:
a_c = v² / r = (2 * g * l) / (l/2) = 4g.
7. В момент, когда нить натянута, действуют две силы: сила тяжести mg и натяжение T. Сумма этих сил должна обеспечить центростремительное ускорение:
T + mg = ma_c,
где a_c = 4g.
8. Подставляем:
T + mg = m * 4g.
9. Перепишем уравнение:
T = m * 4g - mg = mg(4 - 1) = 3mg.
10. Когда шарик поднимается выше уровня гвоздя, сила натяжения уменьшится до нуля, если centripetal acceleration будет уравновешена только силой тяжести. Это происходит, когда:
mg = ma_c,
где a_c = g.
11. Таким образом, получаем:
mg = m * g,
что указывает на то, что при достижении определенной высоты (h') сила натяжения станет равной нулю.
12. Найдем высоту h':
h' = r = l/2.
Ответ:
Сила натяжения нити исчезнет на высоте h' = l/2 от нижней точки траектории шарика.