Дано:
- частота вращения f = 0,5 с^(-1),
- угол при вершине конуса α = 120°.
Найти:
длину нити L, если сила натяжения нити T в 2 раза больше силы тяжести F_g, действующей на шарик.
Решение:
Сначала найдем угловую скорость ω:
ω = 2 * π * f,
ω = 2 * π * 0,5 ≈ 3,14 рад/с.
Теперь определим силы, действующие на шарик. На него действуют:
1. Сила тяжести F_g = m * g,
2. Сила натяжения T, которая направлена по нити.
Согласно условию задачи, T = 2 * F_g. Таким образом, имеем:
T = 2 * m * g.
При равновесии сил можно записать уравнения для вертикальной и горизонтальной составляющих сил.
Разложим силу натяжения T на составляющие:
T_x = T * sin(α/2),
T_y = T * cos(α/2).
Где α/2 = 60°. Тогда:
T_x = T * sin(60°) = T * (√3 / 2),
T_y = T * cos(60°) = T * (1/2).
Составим уравнение для вертикальной составляющей:
T_y = F_g,
T * (1/2) = m * g,
T = 2 * m * g.
Теперь подставим это значение в горизонтальную составляющую:
T_x = m * a_c,
T * (√3 / 2) = m * (ω² * r),
где r - радиус окружности, по которой движется шарик.
В данном случае для нахождения радиуса r можно использовать проекцию L на горизонтальную плоскость, где L - длина нити:
r = L * sin(60°) = L * (√3 / 2).
Подставляя это значение в уравнение для centripetal acceleration, получаем:
T * (√3 / 2) = m * (ω² * (L * (√3 / 2))).
Теперь можем подставить T = 2 * m * g:
2 * m * g * (√3 / 2) = m * (ω² * (L * (√3 / 2))),
g * √3 = (ω² * L).
Теперь подставим значение ω:
g * √3 = ((3,14)² * L).
Решим это уравнение для L:
L = g * √3 / (3,14)².
Теперь подставляем значение g = 9,81 м/с²:
L = (9,81 * √3) / 9,86 ≈ 1,47 м.
Ответ:
Длина нити L составляет примерно 1,47 м.