Дано:
- Максимальная высота шарика h_max = 5 м
- Половина максимальной высоты h_half = 2.5 м
- Ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
Найти:
- Время t после броска второго шарика, когда оба шарика находятся на одной высоте.
Решение:
1. Найдем начальную скорость v_0, с которой шарик был брошен. Используем формулу для максимальной высоты:
h_max = v_0² / (2 * g)
Подставим значения:
5 = v_0² / (2 * 9.81)
v_0² = 5 * 2 * 9.81
v_0² = 98.1
v_0 = √98.1 ≈ 9.9 м/с
2. Определим время t_1, когда первый шарик достигает половины своей максимальной высоты. Используем уравнение движения:
h = v_0 * t - (1/2) * g * t²
Подставим значения для h_half:
2.5 = 9.9 * t_1 - (1/2) * 9.81 * t_1²
2.5 = 9.9 * t_1 - 4.905 * t_1²
4.905 * t_1² - 9.9 * t_1 + 2.5 = 0
3. Решим квадратное уравнение по формуле:
t_1 = [9.9 ± √(9.9² - 4 * 4.905 * 2.5)] / (2 * 4.905)
Сначала найдем дискриминант:
D = 9.9² - 4 * 4.905 * 2.5
D = 98.01 - 49.05
D = 48.96
Теперь найдем корни:
t_1 = [9.9 ± √48.96] / 9.81
t_1 = [9.9 ± 7] / 9.81
t_1 = (9.9 + 7) / 9.81 ≈ 1.67 с (положительное значение)
4. Теперь, когда жонглёр бросает второй шарик, первое время t_2 для второго шарика будет равно 0.
5. Найдем высоту первого шарика через время t после броска второго шарика:
h_1(t) = v_0 * (t + t_1) - (1/2) * g * (t + t_1)²
h_1(t) = 9.9 * (t + 1.67) - (1/2) * 9.81 * (t + 1.67)²
6. Высота второго шарика:
h_2(t) = v_0 * t - (1/2) * g * t²
h_2(t) = 9.9 * t - (1/2) * 9.81 * t²
7. Для того чтобы найти момент, когда оба шарика находятся на одной высоте, приравняем h_1(t) и h_2(t):
9.9 * (t + 1.67) - (4.905 * (t + 1.67)²) = 9.9 * t - (4.905 * t²)
8. Упрощаем уравнение:
9.9 * t + 16.55 - 4.905 * (t² + 3.34t + 2.7889) = 9.9 * t - 4.905 * t²
9.9 * t + 16.55 - 4.905t² - 16.395t - 13.672 = 9.9t - 4.905t²
16.55 - 13.672 = 0.505t
2.878 = 0.505t
t ≈ 5.7 с
Ответ:
Через примерно 5.7 секунд после броска второго шарика оба шарика будут находиться на одной высоте.