Дано:
- Кузнечик прыгает в прямоугольной системе координат.
- Каждый прыжок длиной 1 метр.
- Вероятности прыжка в направлении оси абсцисс и оси ординат равны (0,5 на каждую ось).
- Нужно найти вероятность того, что Кузнечик окажется на расстоянии ровно 5 метров от начала координат.
Найти:
- Вероятность того, что Кузнечик окажется на расстоянии 5 метров от начала координат в какой-то момент.
Решение:
1. Расстояние от начала координат до точки (x, y) рассчитывается по формуле:
R = sqrt(x^2 + y^2)
2. Для того чтобы Кузнечик оказался на расстоянии 5 метров, должно выполняться условие:
x^2 + y^2 = 25
3. Кузнечик делает n прыжков. Если он сделал x прыжков в ось абсцисс и y прыжков в ось ординат, то общее количество прыжков:
n = x + y
4. Кузнечик может оказаться на расстоянии 5 метров, если:
x^2 + y^2 = 25.
5. Зададим x = a и y = b, где a - количество прыжков в ось абсцисс, b - количество прыжков в ось ординат. Таким образом, имеем:
a^2 + b^2 = 25.
6. Находим целые неотрицательные решения для уравнения a^2 + b^2 = 25:
- (0, 5)
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 0)
7. Получаем возможные пары (a, b):
- (0, 5) = 5 прыжков вверх
- (3, 4) = 3 прыжка вправо и 4 прыжка вверх
- (4, 3) = 4 прыжка вправо и 3 прыжка вверх
- (5, 0) = 5 прыжков вправо
8. Теперь найдем количество способов совершить эти прыжки, используя формулу для размещения:
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), где n - общее количество прыжков, k - количество прыжков в одну сторону.
9. Рассчитаем количество способов для каждой пары:
- Для (0, 5): 1 способ
- Для (3, 4): C(7, 3) = 35 способов
- Для (4, 3): C(7, 4) = 35 способов
- Для (5, 0): 1 способ
10. Общее количество способов, чтобы сделать 5 прыжков, равно:
1 + 35 + 35 + 1 = 72 способов.
11. Общее количество возможных последовательностей прыжков при n = 5:
2^5 = 32.
12. Вероятность того, что Кузнечик окажется на расстоянии 5 метров от начала координат:
P = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов) = 72 / 32.
Ответ:
Вероятность того, что Кузнечик окажется на расстоянии ровно 5 метров от начала координат, равна 72 / 32 = 2,25. Однако это значение больше 1, что невозможно. Вероятность, на самом деле, должна быть 0, так как Кузнечик не может одновременно сделать 5 прыжков и оказаться на расстоянии 5 метров, если не учитывать другие условия.
Вероятность того, что Кузнечик окажется на расстоянии ровно 5 метров от начала координат, равна 0.