Дано:
- В пакетике п конфет.
- Из них 6 оранжевых.
- Остальные конфеты жёлтые.
- Вероятность того, что Аня съела две оранжевые конфеты, равна 1/3.
Найти:
Количество конфет в пакетике, п.
Решение:
1. Количество жёлтых конфет равно п - 6.
2. Вероятность того, что Аня съела две оранжевые конфеты, можно вычислить следующим образом:
- Вероятность того, что первая конфета оранжевая:
P(первая оранжевая) = 6/p.
- Если первая конфета оказалась оранжевой, то в пакетике осталось 5 оранжевых и всего (п - 1) конфет. Следовательно, вероятность того, что вторая конфета тоже оранжевая:
P(вторая оранжевая | первая оранжевая) = 5/(п - 1).
3. Общая вероятность того, что обе конфеты оранжевые:
P(две оранжевые) = P(первая оранжевая) * P(вторая оранжевая | первая оранжевая) = (6/p) * (5/(п - 1)).
4. По условию задачи эта вероятность равна 1/3:
(6/p) * (5/(п - 1)) = 1/3.
5. Умножим обе стороны на 3p(п - 1):
3 * 6 * 5 = p * (п - 1).
6. Упростим:
90 = p^2 - p.
7. Переносим все в одну сторону уравнения:
p^2 - p - 90 = 0.
8. Решим квадратное уравнение с помощью формулы:
p = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,
где a = 1, b = -1, c = -90.
9. Найдем дискриминант:
D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-90) = 1 + 360 = 361.
10. Теперь подставим значения в формулу:
p = (1 ± √361) / 2 = (1 ± 19) / 2.
11. Найдем два возможных значения p:
p1 = (1 + 19) / 2 = 20 / 2 = 10,
p2 = (1 - 19) / 2 = -18 / 2 = -9 (отрицательное значение не подходит).
Ответ:
Количество конфет в пакетике равно 10.