Дано:
- Вероятность выбора левой тапочки: 0,5.
- Вероятность выбора правой тапочки: 0,5.
- Количество дней в неделю: 7.
Найти:
Минимальное количество пар одинаковых тапочек, необходимое для того, чтобы с вероятностью не менее 0,8 Барабек не расстраивался целую неделю.
Решение:
1. Обозначим количество пар тапочек как n. Итак, у Барабека есть n левых тапочек и n правых тапочек.
2. В течение недели Барабек будет есть 7 тапочек. Чтобы не расстраиваться, ему нужно, чтобы все желаемые тапочки были в наличии.
3. Возможные ситуации:
- Если он выберет 7 левых тапочек, то ему нужны 7 левых.
- Если он выберет 7 правых тапочек, то ему нужны 7 правых.
- Если он выберет разные тапочки, например 4 левых и 3 правых, то ему нужно 4 левых и 3 правых.
4. Общая вероятность того, что он не расстроится, равна вероятности того, что он выберет достаточное количество тапочек.
5. Вероятность, что Барабек выберет i левых и (7 - i) правых тапочек (где i = 0, 1, 2, ..., 7) следует биномиальному распределению:
P(i левых тапочек) = C(7, i) * (0,5)^i * (0,5)^(7-i) = C(7, i) * (0,5)^7.
6. Он не расстроится, если:
- Для i = 0: ему нужны 7 правых тапочек.
- Для i = 1: ему нужны 1 левый и 6 правых тапочек.
- Для i = 2: ему нужны 2 левых и 5 правых тапочек.
- И так далее до i = 7.
7. Он не расстроится, если у него достаточно тапочек:
- Для i <= n: не расстроится, если количество тапочек в наличии >= количество выбранных.
8. Вероятность того, что Барабек не расстроится за неделю:
P(не расстроится) = P(i <= n) для i = 0, 1, ..., 7.
То есть нужно найти:
P(0) + P(1) + P(2) + ... + P(n) >= 0,8.
9. Сначала посчитаем общее количество возможных выборов за 7 дней:
Сумма вероятностей = C(7, 0) * (0,5)^7 + C(7, 1) * (0,5)^7 + ... + C(7, n) * (0,5)^7.
10. Сумма всех вероятностей = 1, следовательно, оставшиеся вероятности (n+1 до 7) = 1 - P(0) - P(1) - ... - P(n).
11. Для разных n, подбираем так, чтобы сумма вероятностей удовлетворяла условию.
12. Подсчитаем, пока не найдем минимальное n:
- n = 3: P(0) + P(1) + P(2) = C(7, 0)(0,5)^7 + C(7, 1)(0,5)^7 + C(7, 2)(0,5)^7 = 1/128 + 7/128 + 21/128 = 29/128 ≈ 0,226 (не подходит).
- n = 4: P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1/128 + 7/128 + 21/128 + 35/128 = 64/128 = 0,5 (не подходит).
- n = 5: P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1/128 + 7/128 + 21/128 + 35/128 + 35/128 = 99/128 ≈ 0,772 (не подходит).
- n = 6: P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 1/128 + 7/128 + 21/128 + 35/128 + 35/128 + 21/128 = 113/128 ≈ 0,882 (подходит).
Ответ:
Необходимо иметь 6 пар одинаковых тапочек, чтобы с вероятностью не менее 0,8 Барабек не расстраивался целую неделю.