Question

В Анчурии в несколько туров проходит чемпионат по шашкам. Каждый тур проходит в один какой-то день в каком-то одном городе. Дни и города проведения туров определяются жеребьёвкой. По правилам чемпионата никакие два тура не могут пройти в одном городе, и никакие два тура не могут пройти в один день. Среди болельщиков устраивается лотерея: главный приз получает тот, кто до начала чемпионата правильно угадает, в каких городах и в какие дни пройдут туры. Если никто не угадает, то главный приз достанется Президенту Анчурийской Лиги Шашек. Всего в Анчурии десять городов, а на чемпионат отведено десять дней. Сколько туров чемпионата должен назначить Президент, чтобы с наибольшей вероятностью получить главный приз самому?

Answer 1

Дано:
- 10 городов (G1, G2, ..., G10)
- 10 дней (D1, D2, ..., D10)
- Каждый тур проходит в один день в одном городе.
- Никакие два тура не могут проходить в одном городе и в один день.

Найти:
Количество туров, которое должен назначить Президент, чтобы с наибольшей вероятностью получить главный приз.

Решение:

1. Определим общее количество возможных комбинаций городов и дней для одного тура. Поскольку у нас есть 10 городов и 10 дней, то для каждого тура существует 10 вариантов города и 10 вариантов дня, но так как они не могут повторяться, для каждого нового тура количество возможных комбинаций будет уменьшаться.

2. Обозначим количество туров за n. Для первого тура есть 10 выборов города и 10 выборов дня. Для второго тура будет 9 городов и 9 дней, для третьего - 8 городов и 8 дней, и так далее.

3. Общее количество возможных комбинаций для n туров можно выразить как произведение:

C(n) = 10 * 10 * 9 * 9 * ... * (10 - n + 1) * (10 - n + 1)

4. Поскольку для каждого тура выборы независимы, и комбинации городов и дней могут повторяться для разных болельщиков, вероятность того, что хотя бы один болельщик угадает правильные комбинации, будет зависеть от количества туров n.

5. Количество возможных вариантов для болельщиков, угадывающих города и дни, при n турах составит:

U(n) = (10! / (10 - n)!)^2

где 10! - факториал числа 10 (все возможные перестановки).

6. Вероятность того, что хотя бы один болельщик угадает все комбинации, будет обратно пропорциональна количеству уникальных вариантов, то есть:

P(n) = 1 - U(n) / C(n)

7. Чтобы максимизировать вероятность P(n), нужно выбирать такое n, при котором U(n) будет минимально возможным.

8. Максимальное количество туров, которое может быть проведено, это 10. Если n = 10, то у нас есть 10 уникальных комбинаций городов и дней.

9. Однако, чтобы не допустить, что все болельщики угадают комбинации, лучше всего назначить n = 5 или 6, так как это увеличивает шансы того, что ни один болельщик не сможет полностью угадать.

10. Рассмотрим конкретные расчеты. Для n = 5:

C(5) = 10 * 10 * 9 * 9 * 8 * 8 = 10^2 * 9^2 * 8 = 81000

U(5) = (10! / 5!)^2 = (10 * 9 * 8 * 7 * 6)^2

11. Аналогично для n = 6, 7, и так далее, можно проводить вычисления.

12. Однако, при n = 5 или n = 6 шанс будет выше, что Президент получит главный приз, так как шансы угадать будут ниже.

Ответ:
Президенту следует назначить 5 или 6 туров, чтобы с наибольшей вероятностью получить главный приз самому.